经纬度与ECEF直角坐标的基本换算
我们目前最常用的全球坐标系是WGS-84坐标系，各种手机、地图基本用经纬度来标记位置。然而，经纬度对于空间的计算是很复杂的，需要很多三角函数操作。平面直角坐标系利用向量的运算，可以非常方便的计算角度、距离等参数，在实际应用中往往作为中间计算的工具。
目前用到的很多GIS、遥感与测绘工具里都有这种功能，比如利用 libproj、RTK等工具，直接进行转换。
本系列文章将逐步推导、创建一个完全内联的（单.h文件）的代码，实现基本的坐标系变换、测地线计算、观测关系计算等功能。今天开始系列的第一篇。第二篇在这里。
文章目录
经纬度与ECEF直角坐标的基本换算1. WGS-84 坐标系2 从经纬度转换到ECEF3 从 ECEF 到经纬度(1) 求取经度(2) 纬度、海拔计算
4 代码与工程
1. WGS-84 坐标系
WGS-84 坐标系是目前使用最为广泛的全球坐标系统。其示意图如下：
WGS-84坐标系里，地球等效为一个椭圆，直角坐标系原点O位于地球的中心。
坐标轴
Z
⃗
=
O
N
⃗
\vec{Z} =\vec{ON}
Z
=ON
指向北极点。坐标轴
X
⃗
=
O
P
⃗
\vec{X} =\vec{OP}
X
=OP
指向格林威治0度经线与赤道面的交点P。坐标轴
Y
⃗
=
Z
⃗
⊗
X
⃗
\vec Y=\vec Z\otimes \vec X
Y
=Z
⊗X
呈右手螺旋关系。
当前位置 T 的经纬度定义：
从高度 H 开始定义：
T是一个距离参考海平面（椭球面）高度为
H
⃗
=
t
T
⃗
\vec{H} =\vec{tT}
H
=tT
的点。t是点T在椭球面上的正射投影，矢量
t
T
⃗
\vec{tT}
tT
是椭球面上t点切面的法向量。需要注意的是，和正球面不同，法向量
t
T
⃗
\vec{tT}
tT
的反向延长线与Z轴的交点是 O’，和原点O并不重合。
对于经度
θ
\theta
θ 的定义，是这样的：
0度经度大圆
N
O
P
⌢
\stackrel\frown{NOP}
NOP⌢是由北极点 N, 地心 O, 格林威治经线与赤道面的交点 P 组成的平面。当前经度大圆
N
O
′
T
⌢
\stackrel\frown{NO'T}
NO′T⌢是由北极点 N, 交点O’, 当前位置T组成的平面。O、 O’ 、t、 T 都在当前经度面上，直线 O’T 与赤道面的交点为u，矢量
O
u
⃗
\vec{Ou}
Ou
与赤道的交点是Q。O’、u、t、T四点共线。经度
θ
=
∡
P
O
Q
\theta=\measuredangle {POQ}
θ=∡POQ
对于纬度
φ
\varphi
φ 的定义，是这样的：
椭球的切平面的法线与Z的交点 O’ 和原点并不重合。纬度定义为法向量
u
T
⃗
\vec{uT}
uT
与赤道面的夹角。在北半球为正，南半球为负纬度
φ
=
∡
T
u
Q
=
∡
O
u
O
′
\varphi=\measuredangle {TuQ}=\measuredangle {OuO'}
φ=∡TuQ=∡OuO′
2 从经纬度转换到ECEF
ECEF 坐标系有利于利用矢量计算简化角度、距离的求取。
已知:
赤道半径 a = 6378137 米，对应上图
O
P
⃗
\vec{OP}
OP
的长度;椭球扁率
f
=
(
a
−
b
)
/
a
f = (a-b)/a
f=(a−b)/a= 1.0/298.257223563。扁率就是衡量椭球是不是很“扁”，正球的扁率为0.椭球偏心率
e
=
a
2
−
b
2
/
a
e={\sqrt {a^2-b^2} }/{a}
e=a2−b2
/a= 0.0818191908426e和f的关系为
e
2
=
f
(
2
−
f
)
e^2=f(2-f)
e2=f(2−f)极地半径 b = 6356752.3142 米，对应上图
O
N
⃗
\vec{ON}
ON
的长度;
设：经度
θ
\theta
θ， 纬度
φ
\varphi
φ， 海拔 H，则有：
r
=
∣
R
⃗
∣
=
∣
O
′
t
⃗
∣
=
a
1
−
e
2
sin
2
φ
=
a
1
−
f
(
2
−
f
)
sin
2
φ
r = \left | \vec R\right |=\left | \vec{O't} \right | = \frac{ a}{\sqrt{1-e^2 \sin^2\varphi }} =\frac{ a}{\sqrt{1-f(2-f) \sin^2\varphi }}
r=
R
=
O′t
=1−e2sin2φ
a=1−f(2−f)sin2φ
a
经纬度极坐标可以利用矢量
R
⃗
\vec R
R
构造一个Z轴平移了的正球，进行极坐标运算。这个正球的球心是 O’。由于x,y没有平移，故而两个坐标系的x、y是重合的。Z坐标z’与z的关系是平移，平移量为OO’：
d
=
O
O
′
=
−
r
e
2
sin
φ
d= {OO'} = -re^2\sin \varphi
d=OO′=−re2sinφ
下图是把经度大圆
N
O
Q
⌢
\stackrel\frown {NOQ}
NOQ⌢切割出来，观察：
在正球模型下，根据极坐标的基本定义，可以直接计算x,y:
x
=
(
r
+
H
)
⋅
cos
φ
⋅
c
o
s
θ
x=\left ( r + H \right ) \cdot \cos \varphi \cdot cos \theta
x=(r+H)⋅cosφ⋅cosθ
y
=
(
r
+
H
)
⋅
cos
φ
⋅
s
i
n
θ
y=\left ( r + H \right ) \cdot \cos \varphi \cdot sin \theta
y=(r+H)⋅cosφ⋅sinθ
Z的坐标，要先计算后，再平移即可得到:
z
′
=
(
r
+
H
)
⋅
s
i
n
φ
z'=\left ( r + H \right ) \cdot sin \varphi
z′=(r+H)⋅sinφ
z
=
z
′
+
d
=
z
′
−
r
e
2
sin
φ
z=z'+d=z' - re^2\sin \varphi
z=z′+d=z′−re2sinφ
带入后，可写成如下等效形式：
z
=
(
r
(
1
−
e
2
)
+
H
)
sin
φ
z=(r(1-e^2)+H) \sin \varphi
z=(r(1−e2)+H)sinφ
z
=
(
r
(
1
−
f
(
2
−
f
)
)
+
H
)
sin
φ
=
(
r
(
1
−
f
)
2
+
H
)
sin
φ
z=(r(1-f(2-f))+H) \sin \varphi =(r(1-f)^2+H) \sin \varphi
z=(r(1−f(2−f))+H)sinφ=(r(1−f)2+H)sinφ
含有扁率的化简，是基于扁率
f
=
(
a
−
b
)
/
a
=
1
−
b
/
a
f = (a-b)/a = 1 - b/a
f=(a−b)/a=1−b/a 计算得到的。
通过上面的处理，极坐标的
T
(
θ
,
φ
,
H
)
T(\theta, \varphi,H)
T(θ,φ,H) 便转换为平面直角坐标
T
(
x
,
y
,
z
)
T(x,y,z)
T(x,y,z) 。
相应接口：
/*!
* \brief lla2ecef 经纬度坐标到ECEF，
* \param lla 纬经高(默认)/经纬高, 量纲是度(默认)/弧度、米
* \param ecef xyz，量纲是米
* \param pr 传出正球半径r,量纲是米
* \param pd 传出正球原点偏移 OO' d 量纲是米
* \param rad 角度量纲开关，false 是度，true 是弧度
* \param latfirst 经纬度顺序，false 是经度\纬度\高度，true 是纬度\经度\高度
*/
inline void lla2ecef(
const double lla[/*3*/],
double ecef[/*3*/],
double * pr = nullptr,
double * pd = nullptr,
const bool rad = false,
const bool latfirst = true
)
3 从 ECEF 到经纬度
对上述计算过程而言，逆向运算可以立刻得到经度，却不能解析得到纬度。纬度需要进行迭代, 主要原因是d的具体取值不知道导致的。
(1) 求取经度
由于
x
/
y
=
tan
θ
x/y=\tan \theta
x/y=tanθ
故而
θ
=
tan
−
1
(
x
/
y
)
\theta=\tan^{-1} (x/y)
θ=tan−1(x/y)
注意处理好象限问题，即可得到经度。
(2) 纬度、海拔计算
对于纬度，则比较复杂。求解三角方程
(
r
+
H
)
sin
φ
=
z
−
d
(r + H) \sin \varphi = z - d
(r+H)sinφ=z−d
由于 H 不知道，r 也不知道，加入第二条件（相切，H向量与r共线）后，得到的是二元四次三角方程，很难解析求取。
可以首先假设
∣
d
∣
=
∣
O
O
′
⃗
∣
=
0
\left |d\right |=\left | \vec {OO'} \right | =0
∣d∣=
OO′
=0, 求取一个粗略的纬度，并得到 d，利用d反过来更新其他数值，进行迭代。这种迭代收敛的前提，是因为每次计算出的纬度一定小于真实的纬度，这是由三角关系决定的。
迭代的效果是不断地把原点向真实的原点移动，直到z达到一个很小的误差。迭代方法：
设起始偏移
d
=
0
d =0
d=0，迭代开始：
R
′
=
r
+
H
=
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
R'=r+H = \sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}
R′=r+H=x2+y2+(z−d)2
φ
′
=
sin
−
1
z
−
d
R
′
\varphi' = \sin^{-1} {\frac {z-d}{R'}}
φ′=sin−1R′z−d
r
′
=
a
1
−
e
2
sin
2
φ
′
r' = \frac{ a}{\sqrt{1-e^2 \sin^2\varphi' }}
r′=1−e2sin2φ′
a
d
′
=
−
r
′
e
2
sin
φ
′
d'= -r'e^2\sin \varphi'
d′=−r′e2sinφ′
z
′
=
R
′
s
i
n
φ
′
+
d
′
z'=R'sin \varphi'+d'
z′=R′sinφ′+d′
d
=
d
′
d = d'
d=d′
当
e
r
r
=
∣
z
−
z
′
∣
<
ε
err = \left | z-z' \right | < \varepsilon
err=∣z−z′∣<ε 时停止迭代。此时
φ
=
sin
−
1
z
−
d
x
2
+
y
2
+
(
z
−
d
)
2
\varphi = \sin^{-1} {\frac {z-d}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}}}
φ=sin−1x2+y2+(z−d)2
z−d
H
=
R
′
−
r
′
H= R'-r'
H=R′−r′
相应接口：
/*!
* \brief ecef2lla ECEF到经纬度坐标
* \param ecef xyz，量纲是米
* \param lla 纬经高(默认)/经纬高, 量纲是度(默认)/弧度、米
* \param pr 传出正球半径r,量纲是米
* \param pd 传出正球原点偏移 OO' d 量纲是米
* \param maxiter 最大迭代次数
* \param piter 迭代次数输出，可以为null
* \param eps Z误差门限
* \param rad 角度量纲开关，false 是度，true 是弧度
* \param latfirst 经纬度顺序，false 是经度\纬度\高度，true 是纬度\经度\高度
* \return 迭代收敛标志
*/
inline bool ecef2lla(
const double ecef[/*3*/],
double lla[/*3*/],
double * pr = nullptr,
double * pd = nullptr,
const int maxiter = 32,
int * piter = nullptr,
const double eps = 1e-10,
const bool rad = false,
const bool latfirst = true
)
4 代码与工程
代码与工程参考
https://gitcode.net/coloreaglestdio/geocalc/-/blob/master/geocalc.h
对各种边界和迭代次数进行测试, 以确定迭代的收敛性:
using namespace CES_GEOCALC;
for (double lon = -180; lon <=180; lon+=60)
{
for (double lat = -90; lat <=90; lat += 15)
{
double LLA[] = {lat,lon,10000};
double ECEF[] = {0, 0, 0};
double LLA2[] = {0, 0, 0};
lla2ecef(LLA, ECEF);
int iter = 0;
ecef2lla(ECEF,LLA2,32,&iter);
printf("LAT=%12.7lf,LON=%12.7lf,dLAT=%10.7lf,dLON=%10.7lf,dALT=%5.3lf, iter = %d\n",
lat,lon,
LLA[0]-LLA2[0], LLA[1]-LLA2[1], LLA[2]-LLA2[2],iter);
}
}
输出：
LAT= -90.0000000,LON=-180.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 2
LAT= -75.0000000,LON=-180.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= -60.0000000,LON=-180.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= -45.0000000,LON=-180.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 7
LAT= -30.0000000,LON=-180.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= -15.0000000,LON=-180.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= 0.0000000,LON=-180.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 1
LAT= 15.0000000,LON=-180.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= 30.0000000,LON=-180.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= 45.0000000,LON=-180.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 7
LAT= 60.0000000,LON=-180.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= 75.0000000,LON=-180.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= 90.0000000,LON=-180.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 2
LAT= -90.0000000,LON=-120.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 2
LAT= -75.0000000,LON=-120.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= -60.0000000,LON=-120.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= -45.0000000,LON=-120.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 7
LAT= -30.0000000,LON=-120.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= -15.0000000,LON=-120.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= 0.0000000,LON=-120.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 1
LAT= 15.0000000,LON=-120.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= 30.0000000,LON=-120.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= 45.0000000,LON=-120.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 7
LAT= 60.0000000,LON=-120.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= 75.0000000,LON=-120.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= 90.0000000,LON=-120.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 2
LAT= -90.0000000,LON= -60.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 2
LAT= -75.0000000,LON= -60.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= -60.0000000,LON= -60.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= -45.0000000,LON= -60.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 7
LAT= -30.0000000,LON= -60.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= -15.0000000,LON= -60.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= 0.0000000,LON= -60.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 1
LAT= 15.0000000,LON= -60.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= 30.0000000,LON= -60.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= 45.0000000,LON= -60.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 7
LAT= 60.0000000,LON= -60.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= 75.0000000,LON= -60.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= 90.0000000,LON= -60.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON=-0.0000000,dALT=0.000, iter = 2
LAT= -90.0000000,LON= 0.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 2
LAT= -75.0000000,LON= 0.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= -60.0000000,LON= 0.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 6
LAT= -45.0000000,LON= 0.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 7
LAT= -30.0000000,LON= 0.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= -15.0000000,LON= 0.0000000,dLAT=-0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
LAT= 0.0000000,LON= 0.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 1
LAT= 15.0000000,LON= 0.0000000,dLAT= 0.0000000,dLON= 0.0000000,dALT=0.000, iter = 8
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